Schrödinger equation

Schrödinger equation

\(i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi (r,t) = \hat{H}\Psi (r,t)\)

이때 $\hat{H}$ 는 해밀토니안 연산자(Hamiltonian operator)로서 전체 에너지(즉 운동에너지와 퍼텐셜 에너지의 합)를 나타냄

Heuristic derivation

고전역학에서 에너지는 운동에너지와 위치에너지의 합이다.

\[E=\frac{p^2}{2m} + V\]

운동량 p는 양자역학에서 파동수(공간 변화에 따른 위상 변화율) $k$와 관련있다. $p=\hbar k$

에너지 E는 양자역학에서 진동수(시간 변화에 따른 위상 변화율) $\omega$와 관련 있다. $E=\hbar \omega$

파동함수의 기본 형태는 다음과 같다

\[\Psi (x,t) = e^{i(kx-\omega t)}\]

위상이 일정한 점은 $kx-\omega t=constant$에서 해당 위치 x는 $x=\frac{\omega}{k}t + constant$ 로서 오른쪽으로 이동한다.

이제 파동함수를 t와 x에 대해 각각 미분해보면

\[\frac{\partial}{\partial t}\Psi = -i\omega e^{i(kx-\omega t)} = -\frac{iE}{\hbar}\Psi(\because E=\hbar \omega)\]

양변에 $i\hbar$ 를 곱하면

\[\therefore i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi = E\Psi\] \[\frac{\partial}{\partial x}\Psi = ik e^{i(kx-\omega t)} = \frac{ip}{\hbar}\Psi(\because p=\hbar k)\]

양변에 $-i\hbar$ 를 곱하면

\[\therefore -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \Psi = p\Psi\]

따라서 E와 p를 파동함수로 치환하면

\[i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi = (-\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V)\Psi\]

따라서 슈뢰딩거 방정식 \(i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi (r,t) = \hat{H}\Psi (r,t)\) 이 성립한다.

운동량 $p=\hbar k$를 가지는 입자의 파동 $\Psi(x) = e^{ikx}$ 에서 운동 에너지는 \(-\frac{\hbar ^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} e^{ikx} = -\frac{\hbar ^2}{2m} (-k^2) e^{ikx} = \frac{\hbar ^2 k^2}{2m}e^{ikx}\) 로서, 고전 운동에너지 식 $E=\frac{p^2}{2m}$ 과 일치한다.